1- اشتق معادلة ساكور-نيترود (49.2).
2- أوجد صيغة رياضية لغاز مثالي بدلالة U, A, N إذا افترض أن الغاز موجود في بعدين فقط .
3- احسب الإنتروبي لمول واحد من غاز الأرجون باستخدام معادلة ساكور-تيترود عند درجة حرارة الغرفة و ضغط جوي واحد، و فسر لماذا تكون إنتروبي غاز الهيليوم تحت الظروف نفسها أكبر ؟
4- احسب العدد المحتمل لحدوث التسلسل الملكي royal flush في لعبة الورق، وجود خمس أرواق لعب متسلسلة من بين 52 ورقة (التسلسل هو أس، ملك، ملكة، ولد، 10)، ما احتمال حدوث ذلك بدءا من المرة الأولى ؟
5- إذا كان جامد أينشتاين مكونا من أربعة متذبذبات توافقيه، و وجدة طاقة N = 4, q = 2، فمثل كل حالة مجهرية ممكنة على صورة سلسلة من الخطوط العمودية و الدوائر.
6- نظام يتكون من جامدين A, B يرتبطان ببعضهما ارتباطا ضعيفا، يحتوي كل منهما على 10 متذبذبات توافقية، و يشتركان في 20 وحدة طاقة . (أ) ما عدد الحالات الجاهرية الموجودة في هذا النظام ؟ (ب) ما عدد الحلات المجهرية المختلفة الموجودة في هذا النظام ؟ (ج)افترض أن النظام في حالة اتزان حراري، فما احتمالية وجود وحدات الطاقة كلها في الجامد A ؟ (د) ما الاحتمالية لوجود نصف وحات الطاقة في الجامد A ؟ (ه) تحت أي ظروف يمتلك هذا النظام الخاصية غير العكسية ؟
7- استخدم الحاسبة للتحقيق في صحة تقريب سترلنج إذا كانت N = 50، ثم تحقق من دقة المعادلة 16.2 ل N!.
8- افترض أنك قذفت عشوائيا 1000 قطعة نقود معدنية. (أ) ما الاحتمالية للحصول على 500 كتابة و 500 صورة ؟ اكتب أولا صيغة تمثل إمكانية أن تكون القطع قد استقرت على وجه "الصورة أو الكتابة"، ثم أوجد التعددية للحالات الجاهرية ل 500-500 باستخدام تقريب سترلنج، و استخدم الحاسبة لضرب الأرقام في هذا السؤال في 10، ثم 1000 حتى تصل إلى نتيجة لا تستطيع بها استخدام الحاسبة و تحتاج إلى استخدام تقريب سترلنج. (ب) ما احتمالية الحصول على 600 كتابة و 400 صورة ؟
9- استخدام الطرق التي اتبعت في هذا الجزء لاشتقاق معادلة مشابهة 21.2، للتعددية عند درجات الحرارة المنخفضة، حيث q << N (افترض أن النظام هو جامد أينشتاين).
10- يحتوي نظام باراماجنت ثنائي الحالة على 1023 ثنائي قطب، و ثبتت الطاقة الكلية عند الصفر، أي إن نصف ثنائيات القطب تتجه إلى الأعلى و النصف الآخر إلى الأسفل. (أ) ما عدد الحالات المجهرية المتاحة لهذا النظام ؟ (ب) افترض أن الحال المجهرية لهذا النظام تغيير 10 بلايين مرة في الثانية. فكم عدد الحالات المجهرية التي يمكن إيجادها في 10 بلايين عام (مساويا لعمر الكون تقريبا) ؟ (ج) هل يمكن القول : إنه إذا أعطي النظام الوقت الكافي، فإنه يمكن أن يوجد في كل حالة ممكنة من الحالات المجهرية المحتملة ؟ اشرح ذلك.
11- الرياضيات المستخدمة في إيجاد احتمالية عدد حالات الكتابة أو الصور في القذف العشوائي للقطع النقدية، يمكن استخدامه في مثال يستخدم في الميكانيكا الإحصائية يسمى السير العشوائي في اتجاه واحد "one dimensional random walk" افترض أن عدد الخطوات لها الطول نفسه، و عددها N، و احتمالية أن تكون أي خطوة إلى الأمام أو إلى الخلف متساوية. (أ) إذا سار شخص عشوائيا، فأين يجد نفسه بعد رحلة طويلة ؟ (ب) افترض أن عدد الخطوات 10.000 خطوة، و طول كل خطوة (ياردة واحدة)، فعلى بعد أي مسافة يمكن أن يوجد هذا الشخص من نقطة البداية ؟ (ج) أفضل مثال في الفيزياء الحرارية للسير العشوائي، هو انتشار الجزيئات، حيث تمثل طول الخطوة متوسط المسار الحر، استخدم النموذج الذي شرح في الجزء 7.1، ثم قدر الإزاحة النهائية لجزيء من الهواء خلال ثانية واحدة (فمثلا جزيء CO2 ينتشر في الهواء)، ثم ناقش تأثير الزمن و درجة الحرارة في عملية انتشار جزيئات الغاز. و قارن تقديراتك لما شرح غي عملية الانتشار في الجزء 7.1 أنجز خذا العلم لآن عدد أفوجادرو قريب من اللانهاية لا من 10.
12- افترض غاز مثاليا أحادي الذرة موجود في فضاء، ذو بعدين (أرض مستوية) في مساحة مقدارها A بدلا من V. اتبع الخطوات السابقة نفسها لتجد صيغة رياضية للتعددية مشابهة للمعادلة 40.2.
13- ما عدد الترتيبات الممكنة في 52 ورقة لعب ؟
14- افترض نظام جامد أينشتاين يتكون من جسمين A و B، حيث إن NB = 200، NA = 300، و مجموع وحدات الطاقة qtotal = 100 احسب الإنتروبي للحالة الجاهرية المرجحة و الحالة الجاهرية الأقل احتمالا. (أهمل ثابت بولتزمان في معادلة الإنتروبي).
15- بين أن التغير في إنتروبي الغاز المثالي أحادي الذرة خلال عملية تمدد أيزوثيرمي شبه ساكنة نعطى بالعلاقة. سيتم إثبات صحة هذه العلاقة لأي عملية شبه ساكنة ما عدا عملية التمدد الحر. ∆s = Q/T
16- بناء على معادلة سيكور-تيترود، فإن إنتروبي الغاز المثالي أحادي الذرة تصبح سالبة عند درجات الحرارة المنخفضة، و هذا غير منطقي، ما يدل على أن هذه المعادلة لا تستخدم عند درجات الحرارة المنخفضة. افترض أنك بدأت بعينة من الغاز المثالي عند درجة حرارة الغرفة و الضغط الجوي المعياري (1 ضغط جوي) ثم خفضت درجة حرارة الغرفة مثبتا كثافة الغاز. و إذا افترضت أن غاز الهيليوم لا يتحول إلى سائل. تحت أي درجة حرارة تتوقع معادلة ساكور-تيرتود أن تكون إنتروبي غاز الهيليوم سالبة ؟ (خواص الغازات عند درجات الحرارة المنخفضة هو الموضوع الرئيس في الفصل السابع).
17- تعطى الإنتروبي بالكمية Nk مضروبة في لوغاريتم، لأي من الغاز لمثالي أحادي الذرة أو جامد أينشتاين. و حيث إن قيمة اللوغاريتم لا يمكن أن تكون عدد كبيرا، لذلك يمكن إهمالها. و اعتبار أن الإنتروبي S ≈ NK. أي إن الإنتروبي بالوحدات الأساسية تساوي تقريبا عدد الجسيمات في النظام (يصلح هذا التعريف لمعظم الأنظمة ما عدا بعض الاستثناءات عند درجات الحرارة المنخفضة) قدر قيمة الإنتروبي بشكل تقريبي كما يأتي : كتاب كتلته 1 kg (مركبات الكربون) حيوان الأيل (400 kg من الماء)، الشمس 2 x 1030 kg (أيونات الهيدروجين). السؤال 39.2 : احسب الإنتروبي لمول واحد من غاز الهيليوم عند درجة حرارة الغرفة و الضغط الجوي المعياري (1 ضغط جوي) بافتراض أن جميع ذرات الغاز مميزة، و قارن نتيجتك بقيمة الإنتروبي إذا كانت الذرات غير مميزة (القيمة الحقيقة للإنتروبي).
18- اشرح سبب زيادة إنتروبي الكون لكل من العمليات غير العكسية الآتية : (أ) إضافة الملح إلى وعاء من الحساء. (ب) اصطدام موجة بجبل من الرمال. (ج) قطع شجرة. (د) احتراق الجازولين في محرك المركبة.
19- اذكر خمس عمليات غير عكسية محببة لك، و اشرح كيف تزداد إنتروبي الكون لكل عملية.
