1- تسهم كل ذرة في قطعة من النحاس بإلكترون توصيلي واحد. استخراج الكثافة و الكتلة الذرية للنحاس، و من ثم احسب طاقة فيرمي، و درجة حرارته و ضغط التشعب، و مساهمة ضغط التشعب في معامل المرونة الحجمي. هل درجة حرارة الغرفة منخفضة على نحو كاف لمعاملة النظام معاملة غاز إلكترونات متشعب ؟
2- استخدم نتائج هذا الجزء، لتقدير مساهمة الإلكترونات التوصيلية في السعة الحرارية، لمول واحد من النحاس، عند دجة حرارة الغرفة. كيف تبدو هذه المساهمة مقارنة بمساهمة اهتزازات الشبكية، بافتراض أنها غير مثبتة ؟ (لقد قست المساهمة الإلكترونية عند درجة حرارة منخفضة ووجد أنها أكبر بنحر 40 % من تنبؤات نموذج الإلكترونات الحرة الذي استخدم هنا).
3- أجر عملية نشر سمرفيلد لتكامل الطاقة (54.7)، و احصل على الصيغة (67.7)، ثم عوض الصيغة الخاصة بالجهد الكيميائي µ، و أحصل على الجواب النهائي،؟ و هو المعادلة (68.7).
4- افترض أن نظاما مكونا من ذرة هيدروجين واحدة (ذرة أو أيون)، يمكنها الوجود في حالتين مختلفتين فقط، حالة شاغرة (لا يوجد إلكترون) و حال مشغولة (وجود إلكترون في الحالة الأرضية) احسب النسبة بين احتمالي هاتين الحالتين، و احصل على معادلة (ساها) التي اشتقت في الجزء (6.5). تعامل مع الإلكترونات، كأنها غاز مثالي أحادي الذرة، لغاية حساب الجهد الكيميائي μ. أهمل حقسقة الإلكترون قد يوجد في حالتي زخم مغزلي مستقلتين.
5- أعد حل السؤال السابق آخذا في الحسبان حالتي الزخم المغزلي للإلكترون ؛ لذا فإن للنظام حالتين مشغولتين، كل واحدة منهما بحالة زخم مغزلي مختلف للإلكترون، أيضا، و كذلك الجهد الكيميائي لغاز الإلكترونات مختلف قليلا. بين أن النسبة بين الاحتمالات لا تتغير ؛ لأن التشعب في الزخم المغزلي يختصر في معادلة ساها.
6- افترض وجود صندوق، تتوافر فيه عشر حالات جسيم منفرد، و افترض أن أي جسيم في الصندوق، يمكنه شغل أي من تلك الحالات العشر. و للتسهيل، افترض أن طاقة الحالات العشر كلها تساوي صفرا، فما دالة التجزيء للنظام في حالة وجود : (أ) جسيم واحد في الصندوق ؟ (ب) جسيمين غير متماثلين في الصندوق ؟ (ج)بوزونين متماثلين في الصندوق ؟ (د) فيرمونين متماثلين في الصندوق ؟ (ه) ماذا يمكن أن تكون دالة التجزيء للنظام اعتمادا على المعادلة (16.7) ؟ (و) ما احتمال وجود الجسيمين معا في الحالة الواحدة نفسها، إذا كان الجسيمان غير متماثلين، بوزونين متماثلين أو فيرمونين متماثلين
7- احسب الحجم الكمي لجزيء من النيتروجين N2، عند درجة حرارة الغرفة، و بين أن غازا من هذه الجزيئات تحت ضغط جوي، يمكن التعامل معه باستخدام معاملات بولتزمان. فعند أي درجة حرارة يصبح الإحصاء الكمي ضروريا للتعامل مع هذا النظام ؟ (محافظا على الكثافة و مفترضا أن الغاز يبقى في الحالة الغازية).
8- افترض أن نظاما مكونا من خمسة جسيمات في داخل وعاء، حيث المستويات غير متشبعة، و لها التباعد نفسه، فمثلا يمكن أن تكون الجسيمات محصورة في جهد هزاز تواقفي أحادي الأبعاد. في هذا السؤال، سنتعامل مع حالات النظام المسموح بها، اعتمادا على كون الجسيمات : فيرميونات متماثلة، بوزونات متماثلة، أو جسيمات غير متماثلة. (أ) صف الحالة الأرضية للنظام لكل نوع من أنواع الجسيمات الثلاثة. (ب) مفترضا أن للنظام وحدة طاقة واحدة فوق الحالة الأرضية، فصف الحالات الممكنة للنظام لكل نوع من أنواع الجسيمات الثلاثة. و ما عدد حلات النظام الممكنة لكل حالة من الحالات الثلاث السابقة ؟ (ج)أعد الحسابات في الجزء (ي) لحالة وحدتي طاقة، و حالة ثلاث وحدات طاقة فوق الحالة الأرضية. (د) افترض أن درجة حرارة النظام منخفضة، على أن تكون الطاقة الكلية منخفضة، (ليس بالضرورة صفرا). و كيف سيختلف تصرف النظام المكون من البروزونات عنه، لنظام مكون من جسيمات غير متماثلة ؟ اشرح إجابتك.
9- لنظام مكون من الفيرميونات، عند درجة حرارة الغرفة، احسب احتمال شغل حالة الجسيم المنفرد، إذا كانت طاقتها : (أ) أقل من μ بمقدار 1 ev. (ب) أقل من μ بمقدار 0.01eV. (ج) تساوي μ. (د) أكبر من μ بمقدار 0.01eV. (ه) أكبر من μ بمقدار 1eV.
10- لنظام مكون من جسيمات، عند درجة حرارة الغرفة، ماذا يجب أن يكون الفرق (.ϵ-μ)، حتى تتفق التوزيعات الثلاثة : فيرمي و ديراك، و بوز و أينشتاين، و بولتزمان بحدود (%1)، و هل يمكن مخالفة هذا الشرط للغازات في غلاف ألرض الجوي ؟ و ضح إجابتك.
11- افترض وجود غاز فيرمي حر في بعدين، محصورا في مربع، مساحته A = L2. (أ) أوجد طاقة فيرمي (بدلالة NوA)، و بين أن متوسط الطاقة للجسيمات يساوي (ϵF / 2). (ب) اشتق صيغة لكثافة الحالات، ستجد أن كثافة الحالات تساوي مقدارا ثابتا، لا يعتمد على ϵF. (ج) اشرح كيفية تصرف الجهد الكيميائي للنظام، كدالة من درجة الحرارة لكلتا الحالتين KT<<ϵF، و عندما تكون T أكبر كثيرا. (د) نظرا إلى أن كثافة الحالات (ϵ)g الحالية تساوي، مقدارا ثابتا، فإنه من الممكن إجراء التكامل. (53.7)، لعدد الجسيمات تحليليا. قم بذلك، و من ثم حل المعادلة لإيجاد μ بوصفها دالة من N. و بين أن الصيغة المشتقة تتصرف وصفيا ككما هو متوقع. (ه) أثبت أن جهد الكيميائي لهذا النظام، عند درجات الحرارة المرتفعة، KT<<ϵF يتصرف كما يتصرف غاز مثالي عادي. السؤال 29.7 : أجر عملية نشر سمرفيلد لتكامل الطاقة (54.7)، و احصل على الصيغة (67.7)، ثم عوض الصيغة الخاصة بالجهد الكيميائي μ، و احصل على الجواب النهائي، و هو المعادلة (68.7).
12- اشتق صيغة لكثافة الحالة لغاز من الفوتونات (أو أي غاز آخر من جسيمات عالية النسبية، و بحالتي استقطاب) مبتدئا بالمعادلة (83.7).
13- افترض إشعاعات كهرومغناطيسية داخل فرن، حجمه 1 m3، عند درجة حرارة T = 1500 K. (أ) ما الطاقة الكلية لهذه الإشعاعات ؟ (ب) ما الجزء الذي يقع في المنطقة المرئية، بأطوال أمواج بين 700nm-400، من هذه الطاقة جميعها ؟
14- إن درجة الحرارة على سطح الشمس، تساوي 5800K تقريبا. (أ) ما طاقة الإسعاعات الكهرومغناطيسية لكل متلا مكعب من الفضاء، بالقرب من سطح الشمس ؟ (ب) ما جزء الطاقة الواقع في الجزء المرئي من الطيف ؟ (احسب التكامل عدديا).
15- (أ) قدر تقريبا القدرة الكلية المنبعثة من جسمك، بإهمال أي طاقة ترتد إلى جسمك عن طريق الملايس أو المحيط (بغض النظر عن لون بشرة الجسم، فإن الانبعاثية عند أطوال أمواج الأشعة الحمراء قريبة جدا من واحد. و إن أي جسم غير معدني يعد قريبا من الجسم الأسود المثالي عند أطوال الأمواج تلك). (ت) قارن بين الطاقة الكلية المنبعثة من جسمك في يوم واحد (بالكيلو كالوري)، و الطاقة الموجودة في الأكل الذي تأكله أيضا في يوم واحد. لماذا يوجد هذا الفرق الكبير ؟ (ج)إن كتلة الشمس تساوي، 2x1030kg، و تشع الشمس طاقة بمعدل 3.9 X 1026 W. فإيهما يعطي طاقة أكثر لوحدة الكتلة : جسمك أم الشمس ؟
16- إن الشمس هي النجم الوحيد الذي نستطيع قياس حجمه. مباشرة و بسهولة، بينما يقدر الفلكيون حجوم النجوم الأخرى باستخدام قانون ستيفان. (أ) إن طيف النجم سيريوس A يعد دالة من الطاقة، تصل قيمته القصوى عند طاقة فوتونات ϵ = 2.0eV. و إن لمعانية النجم سيريوس A تشكل 24 ضعفا من لمعانية الشمس. كيف يمكن أن تقارن نصف قطر هذا النجم بنصف قطر الشمس ؟ (ب) إن طيف النجم بتلجوس، تصل قيمته القصوى عند ϵ = 2.0eV، و لمعانه يساوي 10.000 ضعف لمعان الشمس. فكيف يمكن مقارنة نصف قطر هذا النجم بنصف قطر الشمس ؟ و لماذا يسمى النجم بتلجوس العملاق الأحمر الهائل ؟
17- افترض، أن تركيز الغازات التي تمتص الأشعة تحت الحمراء في الغلاف الجوي قد ضوعفت، حيث تكون عمليا غطاء آخر، ما يؤدي إلى تسخين سطح الأرض. قدر درجة اتزان حرارة سطح الأرض، التي تنتج من هذه الكارثة. (بين أولا أن الغطاء السفلي أسخن من الغطاء العلوي بمعامل ¼2، و من ثم بين أن سطح الأرض أسخن من الغطاء السفلي بمعامل ¼2).
18- يتخلق الكوكب فينوس عن الأرض بطرق مختلفة، فهو أولا، الأقل بعدا عن الشمس، حيث يبعد فقط %70 من بعد الأرض عن الشمس. و ثانيا، فإن سحبه الكثيفة تعكس %77 من ضوء الشمس الكلي الساقط على الكوكب، و ثالثا، فإن غلافه الجوي أكثر إعتاما للأشعة تحت الحمراء من الغلاف الجوي للأرض. (أ) احسب الثابت الشمسي عند موقع الكوكب ، و قدر درجة حرارة السطح المتوسطة للكوكب فينوس، في حالة عدم وجود غلاف جوي له، و عدم انعكاس ضوء الشمس. (ب) قدر درجة حرارة السطح مرة أخرى، آخذا في الحسبان الانعكاسية الناتجة عن السحب. (ج)إن الغلاف الجوي لفينوس يؤدي إلى تعتيم الأمواج فوق الحمراء بمقدار 70 ضعفا، و هذا يسببه الغلاف الجوي الأرضي لتلك الأمواج. و عليه، يمكن وضع نموذج للغلاف الجوي لفينوس يتكون من 70 "غطاء" من نوع الغطاء، الذي تعاملنا معه في الكتاب. استخدم هذا النموذج لتقدير درجة حرارة سطح فينوس. (إن درجة حرارة الغطاء العلوي هو ما وجدناه في الفرع (ب)، و يكون الغلاف الثاني للأسفل أسخن بمعامل ¼2. أما الطبقة اللاحقة فتكون أسخن بمعامل أقل قليلا من ¼2. استمر في التعامل مع الطبقات اللاحقة، حتى تحصل على نموذج يعطي درجة حرارة السطح).
19- أضف الخطوات الناقصة في اشتقاق المعادلتين (112.7) و (117.7).
20- إن السعة الحرارية لسائل الهيليوم الرباعي 4He، تتناسب مع T3 عند درجات حرارة أقل من 0.6 K، و تعطي القياسات العلمية العلاقة الآتية : Cv ǀ N k = (T ǀ 4.67 K)3، و هذا يشير إلى أن نعظم التهيجات عند درجات حرارة منخفضة، هي فونونات بأطوال أمواج طويلة. إن الفارق المهم الوحيد بين الفونونات في السؤائل و تلك التي في الجوامد، هو أن السوائل لا تستطيع أن تنقل أمواجا باستقطابات عرضية، و عليه، فإن الأمواج الصوتية في السوائل أمواج طويلة. إذا علمت أن سرعة الصوت في سائل الهيليوم الرباعي تساوي 238 m/ s و كثافة سائل الهيليوم الرباعي تساوي 0.145 g/ cm3 فاحسب مساهمة الفونونات للسعة الحرارية للهيليوم الرباعي عند درجات الحرارة المنخفضة. و بعد ذلك قارن نتائجك بالقيم المقيسة عمليا.
21- احسب التكامل في المعادلة (124.7) عدديا، لتأكيد القيمة المذكورة في الكتاب.
22- احسب درجة حرارة تكاثف الهيليوم الرباعي مفترضا أنه غاز ذرات غير متفاعلة. و قارنها بدرجة حرارة الانتقال إلى حالة مفرطة المائعية، و هي T = 2.17 K. (كثافة سائل الهيليوم الرباعي 0.145 g/cm3).
23- افتراض أن غاز يتكون من العدد، N، من البوزونات المتماثلة ذات الزخم المغزلي الصفري، محصورة عن طريق جهد هزاز توافي متماثل و ثلاثي الأبعاد (في تجربة ذرات الربيديوم التي نوقشت سابقا، كان جهد الحصر توافقيا، لكنه غير متماثل). إن نستويات الطاقة في هذا الجهد هي ϵ =nhf، حيث n عدد صحيح موجب، و ƒ تردد الاهتزازات الكلاسيكية، و إن درجة تشعب المستوى n تساوي (n+1) (n+2) / 2. (أ) أوجد صيغة لكثافة الحالات g (ϵ) لذرة محصورة في هذا الجهد (ينكتك افتراض أن 1n>). (ب) أوجد صيغة لدرجة حرارة التكاثف لهذا النظام بدلالة تردد الاهتزازات ƒ. (ج)إن هذا الجهد يحصر الجسيمات داخل حجم يساوي تقريبا مكعب سعة الاهتزازة. و سعة الاهتزازة بدورها يمكن تقديرها بجعل الطاقة الكلية للجسيم (في حدود kT)مساوية لطاقة وضع "الزنبرك". آخذا هذه الارتباطات في الحسبان، و مهملا جميع العوامل 2 و π وهكذا، بين أن جوابك للجزء (ب) يكافئ تقريبا الصيغة، (التي اشتقت في الكتاب)، الخاصة بدرجة حرارة التكاثف لبوزونات محصورة داخل صندوق ذي جدران صلبة.
